Εκδοση αναμνηστικού Εσθονίας

[Seahorse]

Το πρόβλημα με το π είναι ότι ΔΕΝ ισούται με 3,14.
 
Τα 3, 1 και 4 είναι απλώς τα 3 πρώτα ψηφία του αριθμού. Έτσι, τα ελληνικά σχολικά βιβλία δίνουν το 3,14 ως μία επαρκώς καλή προσέγγιση του π, ενώ σε σχολικά βιβλία του εξωτερικού που προσπαθούν να προσεγγίσουν το π ως λόγο ακεραίων, δίνεται η τιμή 22/7. Για τα προβλήματα που συναντά κανείς στο λύκειο, αυτές οι τιμές είναι “αρκετά καλές”, αλλά δεν ισούνται με π.
 
Άρα μαθηματικά μιλώντας, ονομαστική αξία 3,14 σε νόμισμα δε σημαίνει ονομαστική αξία π. Το 3,14 είναι απλώς μια προσέγγιση του π, όπως είναι και το 3 (στρογγυλοποίηση στην πλησιέστερη μονάδα) ή το 3,1 (στρογγυλοποίηση στο πρώτο ψηφίο μετά την υποδιαστολή) ή το 3,142 (στρογγυλοποίηση στο τρίτο ψηφίο μετά την υποδιαστολή).
Αυτός πρέπει να είναι (και ορθώς) ο λόγος που δεν κόβεται από κανένα νομισματοκοπείο τέτοιο νόμισμα, διότι τέτοια ιδέα έχει σίγουρα περάσει από το μυαλό πολλών, αλλά μαθηματικά είναι λάθος.
 
Ο Αρχιμήδης, χρησιμοποιώντας τη βασική ιδέα του ολοκληρωτικού λογισμού (σχεδόν 2000 χρόνια πριν αναπτυχθεί το θέμα από τον πασίγνωστο Βρετανό φυσικομαθηματικό Isaac Newton και ανεξάρτητα από τον Γερμανό μαθηματικό και φιλόσοφο G. W. Leibniz), απέδειξε ότι η τιμή του π είναι μεταξύ 223/71 = 3,14084507… και 22/7 = 3,14285714… . Συνεπώς μπορούμε να πούμε πως απέδειξε ότι τα 3 πρώτα ψηφία του π είναι 3,14 και ότι ο π είναι μεγαλύτερος του 3,14, αλλά δεν υπολόγισε αν το επόμενο ψηφίο είναι 0, 1 ή 2.
 
Ποια ακριβώς είναι η τιμή του π; Πόσα ψηφία έχει μετά την υποδιαστολή και πόσα από αυτά ξέρουμε;
 
Το 1767 Ο Ελβετός μαθηματικός Johann Lambert απέδειξε ότι ο αριθμός π είναι άρρητος!
 
Οι πραγματικοί αριθμοί χωρίζονται σε ρητούς και άρρητους.
Ρητός είναι ένας αριθμός που μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα δύο ακεραίων. Π.χ. οι
• 7 (= 7/1)
• 92953 / 24975 (ήδη γραμμένος ως κλάσμα δύο ακεραίων)
• 22/7 (η προσέγγιση του π που αναφέρθηκε παραπάνω)
• 3,14 (=314/100=157/50)
είναι όλοι ρητοί αριθμοί. Όλοι οι ρητοί αριθμοί, αν γραφτούν στο δεκαδικό σύστημα, έχουν στο τέλος κάποιο επαναλαμβανόμενο μέρος. Έτσι, στα 7 = 7,00000 και 3,14 = 3,1400000… επαναλαμβάνεται το 0 αιωνίως, στο 92953 / 24975 = 3,72184184184… επαναλαμβάνεται το 184 αιωνίως και στο 22/7 = 3.142857142857142857… επαναλαμβάνεται το 142857 αιωνίως.
 
Άρρητος είναι ένας αριθμός που δεν μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα δύο ακεραίων και αποδεικνύεται ότι αν τον γράψουμε στο δεκαδικό σύστημα, μετά την υποδιαστολή έχει άπειρα ψηφία στα οποία δεν υπάρχει επαναλαμβανόμενο μέρος. Οι αριθμοί
• √2 (τετραγωνική ρίζα του 2)
• √3 (τετραγωνική ρίζα του 3)
• π
είναι όλοι άρρητοι. Ο αρχαίος Έλληνας Πυθαγόρειος φιλόσοφος Ίππασος ο Μεταποντίνος απέδειξε πρώτος την ύπαρξη των άρρητων αριθμών, αποδεικνύοντας ότι ο √2 είναι άρρητος: Έκανε την υπόθεση ότι μπορεί να γραφτεί ως λόγος ακεραίων και απέδειξε ότι αυτό οδηγεί σε αντίφαση.
 
Η απόδειξη ότι ο π είναι άρρητος χρειάστηκε να περιμένει πολλούς αιώνες και την ανάπτυξη ανώτερων μαθηματικών.
 
Σήμερα έχουν υπολογιστεί, με χρήση κατάλληλων αλγορίθμων σε υπερυπολογιστές, περισσότερα από τα πρώτα 50 τρισεκατομμύρια ψηφία του π. Μιλάμε για αδιανόητο αριθμό απαιτούμενων πράξεων, όχι αστεία! Ίσως κάποιος το θεωρήσει άχρηστο, αλλά είναι ένας πολύ καλός τρόπος να αποδείξεις ότι ο υπολογιστής σου δουλεύει σωστά (βάζοντάς τον να υπολογίσει και αυτός πολλά ψηφία του π και συγκρίνοντας το αποτέλεσμα με το ήδη γνωστό αποτέλεσμα) ή… να δείξεις ότι οι υπερυπολογιστές των άλλων τρώνε τη σκόνη του δικού σου, αν ο δικός σου υπολογίζει πιο γρήγορα τα ίδια ή και περισσότερα ψηφία του π.